侠之大者：阿马蒂亚·森与自由悖论

“如果你因失去太阳而流泪，那么你也将失去群星”，这句国人耳熟能详的名人名言出自印度诗人泰戈尔的《飞鸟集》。泰戈尔不仅以诗著名，他还因不满僵化的英国殖民教育，创办了自己的学校。这位第一个获得诺贝尔文学奖的亚洲人大概不会料到，他的学校会走出亚洲第一个（也是迄今唯一的）诺贝尔经济学奖得主，而这位幸运儿的大名正是泰戈尔亲自拟定的，他的名字叫阿马蒂亚·森（Amartya Sen）。

少年英雄

与作为倒闭银行家的儿子阿罗不同，森出生于书香门第，父亲和外公都是大学教授。从小混迹于茵茵校园，除了投身学术，森想不出还有第二条路可以走。他在泰戈尔创办的学校里读完小学和中学，自由驰骋于梵文、数学和物理之间。9 岁时他目睹了 1943 年的孟加拉大饥荒，三百万人丧生的惨剧给他幼小的心灵以巨大震撼，17 岁中学毕业的他就选定了经济学作为自己的主攻方向，开始严肃思考贫困、公正、社会福利等他的国家以及整个人类都面临的重大问题。20 岁时他以最优异的成绩在印度获得经济学学士学位，3 年后他又以最优异的成绩获得英国剑桥大学的学士学位，在他刚成为剑桥大学的博士生时，年仅 23 岁的他就被任命为印度 Jadavpur 大学经济学系首任系主任。

才华横溢的森获得剑桥大学的优秀奖学金，这笔钱允许他在 4 年里做任何他想做的研究。森做了一个大胆决定：研习哲学。事后证明，这是一个相当明智的决定，为他日后在经济学、政治学、伦理学等领域向人类贡献前所未有的深刻洞见奠定了坚实的基础。没有这 4 年的内力修为，森仍然会是一名出色的剑客，但决不会成为一代武林宗师。

由于剑桥大学不怎么待见社会选择理论，森直到博士毕业回到印度，才有机会开展这方面的研究。他对世界最重要的贡献之一——自由悖论（又称帕累托自由不可能性定理）是在印度本土做出的。

自由悖论

“自由，自由，多少罪名假汝名以行”，罗曼·罗兰的这句名言至今仍振聋发聩。森是如何界定自由这个一望而知又难以琢磨的概念的呢？森认为，尽管自由并不是你想干什么就能干什么，但至少在某些私人领域，这个条件是可以得到满足的。例如，相比躺着睡，我更喜欢趴着睡，我这个口味虽然重了点，但不碍别人什么事。如果有两个社会状态 x 和 y，除了在 x 中我趴着睡而在 y 中我躺着睡以外，其他都一样，那么社会应该偏好或选择 x 而不是 y。每个人都有这样一些让社会遵从自己口味的私人领域（或社会状态），这一点看上去毫无争议。

然而，森发现，这个条件与另一个毫无争议的条件——帕累托条件（即一致同意性条件）竟然不能被同时满足。帕累托条件要求，如果每个人都认为 x 比 y 好，那么社会也要认为 x 比 y 好。帕累托条件通常被认为是效率的体现，在自由主义者看来，自由是效率的保障。计划经济之所以不如市场经济在配置资源上更有效率，就是因为后者比前者拥有更多自由。然而森的定理表明，自由不但不是效率的保障，甚至会妨碍效率。这真是见了鬼了！

实际上，森证明了一个更强的结论。首先，他重新定义了社会整合机制。他没有像阿罗一样，要求社会整合机制在输入一组线序后，也返回一个线序，而是只要求返回一个非空集合。即社会整合机制根据个体偏好，选出最好的（可以是多个）备选项，森称这样的社会整合机制为“社会选择函数”。其次，在社会选择函数的框架下，森重新表述了自由性条件和帕累托条件，使得这两个条件都变得更弱了。

自由性条件：至少有两个个体是自由的。某个个体是自由的，意指对该个体而言，存在一对社会状态（或备选项）x, y，使得该个体能根据自己关于 x, y 的偏好，决定哪个备选项不能入选社会选择的结果集：若个体认为 x > y，则 y 不能入选；反之，则 x 不能入选。

帕累托条件：若每个人都认为 x > y，则 y 不能入选社会选择的结果集。

帕累托自由不可能性定理（Sen 1970）：没有社会选择函数能同时满足自由性条件和帕累托条件。

这个结果尽管看上去令人惊讶，但证明却异常简单。假设存在满足这两个条件的社会选择函数，根据自由性条件，存在个体 A 和 B，A 关于某一对备选项 a, a' 有否决权，B 关于某一对备选项 b, b' 有否决权，不妨设 b, b' 与 a, a' 均不相同（相同的情况类似可证）。考虑如下一组排序：

A：b' > a > a' > b > 其他选项
B：a' > b > b' > a > 其他选项
其他个体：与 A 排序一样（或与 B 排序一样）

根据自由性条件，对任意社会选择函数，a' 和 b' 都不能入选。另一方面，由于所有人都认为 a' > b 且 b' > a，故据帕累托条件，a 和 b 也不能入选。最后，由于每个人都认为 a > 其他选项，故据帕累托条件，所有其他选项也不能入选，这与社会选择函数必须返回非空集矛盾，证毕！

名噪江湖

凭借自由悖论一举成名的森几乎在英美所有顶尖大学都担任过教授或访问教授（其中包括哈佛大学、剑桥大学、牛津大学、斯坦福大学、伦敦经济学院、耶鲁大学、加州大学伯克利分校、麻省理工大学、康乃尔大学等），拥有超过 90 所大学的名誉学位，并曾出任英国剑桥大学三一学院院长、美国经济学会会长和国际经济学会会长（至少在经济学领域，这近似于武林盟主了）。

值得一提的是，尽管大部分时间在英美等国工作和生活，森至今仍保持印度国籍（也是其唯一国籍，即使印度承认双重国籍），而他的印度身份还曾给他带来过不少麻烦。

一次，时任剑桥大学三一学院院长的森从国外旅行回到英国，伦敦机场的官员仔细审核了森的护照，发现住址一栏写的是“剑桥三一学院院长公寓”，这位官员怎么也想不到，赫赫有名的三一学院的院长是眼前这位印度佬，于是问森是不是院长的亲密朋友（否则怎么能与院长共处一室呢），森思考了一下“自己是不是自己的朋友”这个哲学问题，踌躇片刻后给出了肯定的回答，官员见森迟疑半晌，更加怀疑森是非法移民，于是盘问起森迟疑的原因。当然，这戏剧性的一幕最终妥善收场。

森不但坚持做一名印度公民，而且每年都要回国参与印度的公共事务。由于他对贫困、饥荒、不平等、剥夺等问题的研究，他被人们尊称为“经济学的良心”，这是比诺贝尔奖得主更来之不易的称谓。正如行走江湖，见面被人称呼一声“大侠”不难，而被唤作“侠之大者”的，恐怕就没有几个了。

2006 年《时代》杂志评选他为 60 年来的亚洲英雄。
2010 年《时代》杂志评选他为世界最有影响的百人之一。
2012 年他获得美国政府颁发的国家人文科学奖章，成为获得该奖的首位非美国公民。

1970 年，森曾在哈佛大学与阿罗和罗尔斯共同开设“社会公正”课程，42 年后的今天，已年届 80 的他，仍然以每学期两门课程的工作量，奋战在哈佛大学的教学第一线。

从“哥德尔不完备性定理”到“阿罗不可能性定理”

哥尼斯堡，这个德国小镇以拥有 7 座令人晕头转向的小桥而著名（直到瑞士人欧拉发明图论治好了晕头症）。一个被当地人用来对时的超级宅男诞生于此，他的名字叫康德。若干年后，康德仙逝，康德的母校迎来了一位新同学，他的名字叫希尔伯特。勤奋好学的希尔伯特迅速成长为数学界的带头大哥。在风起云涌的 1920 年代，这位带头大哥为江湖侠士们编织了一个值得赴汤蹈火、万死不辞的伟大梦想：构造一个完美的（一致且完备的）形式证明系统，用以证明任何数学命题的真假。（这令人想起他的德国前辈莱布尼茨）。直到 1930 年退休时，希尔伯特仍然对此心怀壮志，他掷地有声的放言：我们必须知道，我们必将知道（Wir müssen wissen, wir werden wissen）。不到 1 年，横空出世的奥地利剑客哥德尔（Gödel）就无情的粉碎了希尔伯特的美梦。他以无可辩驳的数学严密性证明了，在任何一致的可以表达初等算术的形式系统中，总有一些真的数学命题是不可证明的；换言之，一致性和（足够的）完备性不可能同时达到，完美的的形式系统不存在。这就像当各路人马怀揣藏宝图四处寻找那个传闻中的巨大宝藏时，有个初涉江湖的无名少侠跳出来说，藏宝图是假的，宝藏根本不存在。

20 年后，一度为找工作发愁的美国人阿罗（Kenneth Arrow）撕碎了人们心中的另一张藏宝图。从柏拉图开始，人们就一直向往着一种理想社会，在这个理想社会中，贤人当政，好人当道。然而，好坏这样的价值判断因人而异，如果没有一种机制能调和众人的口味，将其整合成整个社会的统一价值，那么贤人政治就只能是痴人说梦。一种完美的整合个人偏好的投票制度，一直是各路人马竞相探寻的宝藏。

阿罗也是寻宝大军中的一员。在美国经济大萧条时代，阿罗的最高理想是当一名中学数学老师，这个很快破灭的理想成就了日后 6 个诺贝尔奖得主（除阿罗外，他的 5 个学生也陆续获得诺奖）。1940 年大学毕业后，走头无路的阿罗选择了读研，边读书边打零工，并曾一度想放弃学术，到保险公司谋个赚钱的精算师职位了却余生。苍天有眼，阿罗最终放弃了这个糟糕的念头。本科毕业 11 年后，阿罗终于拿到博士学位，其姗姗来迟的博士论文让整个学界为之震惊。

在写博士论文期间，阿罗重新发现了 18 世纪法国数学家、政治学家孔多塞（Marquis de Condorcet）发现的投票悖论：少数服从多数原则可能导致投票结果出现循环，而循环排序被认为是不可接受的。这个投票悖论经常以水果大战的面目出现。我更喜欢用西游记里的人物举例。假设如来、观音和唐僧对孙悟空、猪八戒、沙和尚 3 个人进行人事考核，考核意见如下：

如来：沙和尚 > 猪八戒 > 孙悟空

观音：孙悟空 > 沙和尚 > 猪八戒

唐僧：猪八戒 > 孙悟空 > 沙和尚

由于多数人（如来、唐僧）认为猪八戒比孙悟空好，故根据少数服从多数原则，最终考核结果为：猪八戒 > 孙悟空；同样的，多数人（观音、唐僧）认为孙悟空比沙和尚好，故最终考核结果为：孙悟空 > 沙和尚；另一方面，多数人（如来，观音）又认为沙和尚比猪八戒好，于是最终结果出现“猪八戒 > 孙悟空 > 沙和尚 > 猪八戒”这样的循环。

这个悖论一直困扰着阿罗，他没有将其看作发现阿罗不可能性定理的契机，而是认为它“十分讨厌”，无缘无故招来麻烦。不久，阿罗发现，如果人们的偏好能够在一条直线上分布，例如在政治立场中，每个人的偏好要么趋左，要么居中，要么偏右，一个偏右的人不会同时趋左，同样，一个居中偏左的人也不会同时偏右，在这种情况下，像“剪刀-石头-布”这样的投票循环就不可能出现。阿罗认为这是一个值得发表的全新发现。他兴致勃勃在一次午餐向客人介绍了自己的发现。之后他随手拿起一本《政治经济学杂志》，令他大失所望的是，其中一篇文章讲的正好就是自己的发现。一计不成，又生一计，1948 年秋天，阿罗终于发现了令世人震惊的“阿罗不可能性定理”。

阿罗认为，一个完美的投票制度至少要同时满足下面 3 个条件：

条件 1（一致同意性）：如果所有人一致认为貂婵比西施好看，那么投票选出的美人榜中，貂婵也要排在西施前面。

条件 2（独立无关性）：投票制度在比较貂婵和西施谁更美时，只需要知道每个人对貂婵和西施的看法（谁更美）即可，不需要知道投票者对其他无关人等（比如说杨玉环或李宇春）的看法，即使这些人也是榜单中的候选项。

条件 3（非独裁性）：投票制度选出的结果不能由一个人说了算。

这 3 个条件看起来都相当自然，尽管离完美标准似乎还有相当的距离。然而，石破天惊的是，阿罗用初中生都能看懂的证明表明，即使只满足这 3 个条件也不可能办到。与之等价的结论是：任何同时满足条件 1 和条件 2 的投票制度只能是独裁制。这个结果实在太悲观，以至于阿罗根据建议在博士论文中改用了一个不那么悲观的名字：一般可能性定理（general possibility theorem）。令阿罗哭笑不得的是，在麦卡锡主义恰好大行其道的年代，这个藏头露尾的可能性定理仍然让他背上了“共产主义分子”的恶名。

需要立刻提醒的是，就像哥德尔不完备性定理被广为误解一样，阿罗不可能性定理也有严格的应用范围，不可无限推广。首先，该定理有两个隐含的前提：1、投票人数是有穷的；2、候选项至少有 3 项，这两个前提中的任何一个不满足，阿罗不可能性定理即不再成立。例如，如果候选项只有 2 项，则少数服从多数原则就能够同时满足上述 3 个条件（这也是为什么该原则被广泛使用，为什么很多国家都是两党制而不是多党制）；其次，阿罗考虑的投票制度只限于对线性排序进行整合的制度，阿罗称之为社会福利函数（social welfare function）。该函数的输入是一组线序，输出是一个线序，因而不包括像记分制这样的投票制度。所谓完美的投票制度不可能，只是说完美的社会福利函数不可能。

阿罗并非没有考虑到记分制这样的投票制度，只是他固执的认为，个体偏好具有主观性，不可公度。记分制的前提是可以统一度量不同个体的偏好，而阿罗认为，对不同个体的偏好进行运算，就像 10 个苹果 + 20 个香蕉一样没有意义。虽然我和你都对貂婵打了满分 5 分，可是这能说明我俩喜欢貂婵的程度一样吗？很可能不一样，我可能超级粉貂婵，如果满分是 100 分的话，我可能会打 100 分，而你可能只会打 95 分。另外，每个人的区分能力不一样，对我来说，99 分和 98 分是不同的，而对你来说，98 分和 95 分没有分别。这好比我手里拿着游标卡尺，而你手里只有米尺，而最后却要统一按照其中一种尺子的精度将我俩度量的值汇总，这在一个严格的数学家看来形同儿戏（实际上，一个物理学家已经不允许这样做了）。相反，采用排序制尽管在实际上忽略了很多信息（如偏好程度），但在数学上却经得起严格推敲。这就是阿罗拒绝考虑记分制的理由。

阿罗将其不可能性定理扩展成了 100 多页的博士论文，但单就定理证明而言，一页 A4 纸的篇幅足以胜任。这个深刻定理导致了其后一系列不可能性定理的发现，从此江湖上出现了一个叫“社会选择理论”（social choice theory）的新门派。在 1972 年的诺贝尔华山论剑中，开山掌门阿罗获得了经济学武学分支的最高奖赏。