二难推理的反例

与黄繁讨论，他给出了一个用两个开关控制一盏灯的电路图，这种电路经常用于楼梯设计，可以实现如下效果：上楼时按开关 A，灯亮，上完楼按开关 B，灯灭。第二个人再上楼按开关 A，灯亮，上完楼按开关 B，灯灭。下楼也一样。受经典电路图局限，我认为如果只用两个开关，或每个开关只有两个状态，那么不可能实现这个效果。结果他给出了如下的电路图。受这个电路图启发，我认为可以给出经典逻辑中一个常用的有效推理的反例。

在经典逻辑中，如下推理是有效的：

(1) $ (A\rightarrow C)\land (B\rightarrow C)\vdash (A\lor B)\rightarrow C$

这种推理又叫做二难推理，即当要证明某个析取式蕴涵某个结论时，只需要分别证明两个析取枝蕴涵该结论。在条件句逻辑中，一般以 (CA) 命名上述推理所对应的公理：

(CA) $ (A>C)\land (B>C)\rightarrow (A\lor B)>C$

(CA) 也为通常的条件句逻辑所接受。但可以举出如下反例：

在这个反例中，(1) 中的 A, B, C 分别代表：switch 开关 A，switch 开关 B 和 C 亮。直观上，(1) 前提真而结论假。前提真容易理解，结论假的原因是，“switch A 或 switch B”也包括同时 switch A 和 B，而此时灯不会亮。

利用电路图来给出经典逻辑推理的反例，是一种非常直观而有效的方法。例如，利用标准的包含两个开关的串联电路就可以给出如下推理的反例（参见 Priest 的 Introduction to Non-classical Logic）：

(2) $ (A\land B)\rightarrow C\vdash (A\rightarrow C)\lor (B\rightarrow C)$

是不是可以构造一种非经典逻辑，使得该逻辑能够刻画所有基于电路图的推理呢？或者电路图是不是可以当作非经典逻辑的试金石？类似于计算复杂性问题中的 benchmark。

与沈榆平讨论时，他指出，上述反例包含了人工智能领域三个基本难题：框架（frame）问题、衍生（ramification）问题和并发（concurrency）问题。如果真是这样，那么这个反例还是有点搞头的。

SOMP 计划

SOMP 是 Study on Mobile Phone 的缩写，这是个一个3-5年的长期计划。

目标：建成一个手机上的综合学习平台，并针对逻辑学专业提供足够的学习内容。
定位：以大学生为主，以后可扩展至中小学生。
依托系统：以 Android 为主，以后可向 iphone 等其他平台移植。

功能描述：
1、课程学习
按课程名称提供课程的阅读资料，包括教材、经典文献、讲义、课件等，所有内容应适合手机阅读，方便查阅，并有批注功能。

2、课程回顾
按课程名称提供该课程的复习卡片，功能上与 Anki 类似。

3、指点迷津
提供各种学习和研究指南，包括英文写作、开题报告和毕业论文撰写、如何选题、如何查找文献等。

4、教学互动
具有 twitter 模式的提问功能，任何人都可以在第一时间给提问者解惑。

5、他山之石
提供相关课程的网络公开课视频或其他资料的链接，方便学生观看和学习网络公开课。

6、搜索引擎
提供一个搜索引擎，学生可以方便的搜索不清楚的概念和命题，或搜索想学习的课程。

7、边玩边学
设计一些可以在玩乐中学习知识的游戏。

8、自我测试
从试题库中随机生成一套试卷（主要是判断题和选择题），测试自己掌握知识的程度。

9、学术屏保
提供相关课程的学者照片、简介或逸闻趣事作为动态屏保，或者更 geek 一点，用定理和命题作屏保。

10、同步更新
具有云端功能，从而提供与网络和电脑的同步，也方便老师不断更新学习内容。

其实这些功能在软件上应该都不难实现，关键还是要有内容（特别是7），这需要每一个老师的参与。可以考虑让学生助教也参与到这个计划中来。

请大家想想还需要什么其他功能，欢迎留言。

面向大学学习的手机学习软件

随着智能手机的普及，在手机上使用软件以提高工作效率的软件越来越多，其中包括一些教育方面的软件。不过现有的教育软件大多是面向中小学的。是不是可以把大学的一些课程也做成手机软件的形式，从而让学生能随时随地的学习和复习课堂上的内容呢？特别的，可以通过网络建立学生与老师之间的更即时的互动，从而提高教学效果。换言之，把网络课堂变成手机课堂，把微博这种形式引入到教学系统，我认为这是个不错的主意。

逻辑后承：从语句到图形

如果把一个图形看作一个结构（模型），那么图形之间的逻辑后承可以很自然的通过反转语句之间的逻辑后承得到定义。

定义 1：$latex \varphi\vDash\psi$ iff  $latex \forall M\in\mathrm{Mod}(\mathcal{L}):M\models\varphi\Rightarrow M\models\psi$
定义 2：$latex M\vDash N$ iff  $latex \forall\varphi\in\mathcal{L}:N\models\varphi\Rightarrow M\models\psi$

其中定义 1 是逻辑后承的经典定义，定义 2 是图形之间逻辑后承的定义。如果将语句理解为信息，将模型理解为图形，将语句在模型下真理解为该模型所对应的图形包含了该语句所表达的信息，那么定义 1 可以重述为：

$latex \varphi$ 推出 $latex \psi$ 当且仅当所有包含信息 $latex \varphi$ 的图形也包含信息 $latex \psi$。

定义 2 可以重述为：

$latex M$ 推出 $latex N$ 当且仅当 $latex M$ 包含所有 $latex N$ 包含的信息。

剩下的工作是定义图形之间的逻辑联结词。这个思路有点像把模型论从元逻辑研究变成对象逻辑的研究。

图形信息与文字信息的区别

为什么有时候画图能帮助我们理解呢？一幅图所包含的信息是否能完全由文字来表达呢？图形和文字在传递信息上究竟有什么不同呢？今天中午吃饭我想到了一些答案。

设想我们有这样两句话：左右有一条直线；上下有一条直线。当我们看到这两句话时，会自然在脑海里画出下面这幅图：



在这幅图中，除了有两条线以外还有一个交点。然而这个交点在文字里并未明示，是推理出来的。而这个推理得到的点在图形中是直接明示的。因此，我理解图形之所以比文字能帮助我们理解，看上去传递了更多信息，原因之一在于，图形把文字中一些隐含的信息直接呈现出来了。如果区分直接信息和隐含信息，例如认知逻辑中为了解决逻辑全知问题区分隐性（implicit）知识和显性（explicit）知识，那么尽管上面这幅图的信息总量与语言的信息总量相同，但其直接信息和隐含信息的结构比例是不一样的。图形会把原来隐含的信息直接呈现出来。

那么，如果我在语言中再加上一句话：两条直线有一个交点，那么图形和文字所传递的信息还有区别吗？我认为仍然有区别。假设这三句话总共传递三个信息，那么文字表达这三个信息是用一个序列来表示的，我们在处理这三个信息时必须依照这个序列来处理（尽管我们通过想像图形后能够进行重新处理），而图形在传达这三个信息时并不是以序列的形式给出的，而是整体呈现的。也就是说，当我们看图时，三个信息是同时被我们处理的（当然，这一点需要认知科学的验证，现在只是我直觉上的判断）。因此，这三个信息不是一个序列，而是以一个三元组作为整体给出的。在数学上，一个 $latex n$ 元序列和一个 $latex n$ 元组并无区别。但在认知上二者的区别是明显的。一个简单的例子就是记手机号码，当你把11个数字分成三组来记比你一个一个来记要容易得多。换言之，$latex (a,b,c)$ 与 $latex ((a,b),c)$ 尽管在数学上是等价的，但在认知上是不同的。

还有一点需要指出，那就是图形通常比文字更具体（这似乎是废话），但为什么会显得更具体呢？仍以上面那两句话为例。用图形表达这两句话其实除了上面的方式外还有下面的方式：



这两幅图显然是有区别的。原因在于直线在语言中是抽象概念，画在图上只能是有具体长度（包括宽度）的线段，这样就造成了两幅图的差别。因此图形除了传递语言的主要信息外还会有一些附加信息（比如图形的大小、方位、颜色、形状等等），这些附加信息使得图形传递的信息变得更加具体。所谓具体，就是包含了更多附加信息。

接下来的问题是，这些附加信息是否有助于我们的理解呢？抑或这些附加信息会误导我们的理解呢？这个问题我还无法回答。