投票操纵可以避免吗？——从达米特说起

2011 年 12 月 26 日，以研究毛泽东而蜚声海外的中国历史学高华不幸去世（你可能没听说过这个名字，但你一定听说过《红太阳是怎样升起的》这本书）。一天后，远在地球另一端的、以诠释弗雷格而闻名于世的英国哲学家达米特（Michel Dummett）撒手人寰。

在分析哲学界，达米特是当之无愧的泰斗级人物。一个念分析哲学的人如果不知道达米特的大名，就像一个研究毛泽东的人不知道高华一样，那简直等于进了一间黑屋而没有摸到大厅的开关，或者干脆连进门的钥匙都没摸到。

你一定想不到的是，达米特这样一个绅士级别的、晚年还获得了爵士称号的老学究，竟然是塔罗牌的资深玩家。作为世界扑克协会的元老级成员，他写过 8 本关于塔罗牌的书，几乎和他的哲学著作一样多。不过人家毕竟还是老学究，虽富英式幽默，但绝不八卦，对于塔罗牌最为人所熟知的、也最富娱乐性的占卜功能，他老人家不屑一顾。在他写的 8 本塔罗牌的书里，有一多半都是关于塔罗牌历史的。通过对塔罗牌前世今生的仔细考察，他发现塔罗牌的占卜玩法是 18 世纪才出现的，而在此之前，塔罗牌和我们通常扑克牌的玩法差不多，都属于竞技策略型的游戏。他有一本书的名字就叫：《塔罗牌的 12 种玩法》。在他已是学界泰斗时，达米特还写了一本为考生和其他人准备的《语法与写作指南》。这一看上去有点掉价的的举动，其实出自达米特深切的人文关怀，他希望借此能改善普罗大众的文字修养，减少文盲的存在。

达米特的第一本重要著作、也是他的成名作——《弗雷格：语言哲学》（Frege: Philosophy of Language）直到他 48 岁时才出版。相比康德 57 岁才发表连法国贵妇都用来装点门面（用现在的话叫装B）的《纯粹理性批判》，达米特似乎还不算晚，但康德在 31 岁就发表了提出星云假说的《自然通史与天体论》。这样比起来，达米特是真正的大器晚成。那么，年轻时的达米特都干啥了呢？ 玩扑克牌去了吗？或许吧。不过那些关于塔罗牌的书其实都是后来才写的。年轻时的达米特在干一件吃力不讨好的事：反抗种族主义。鉴于种族主义当时在英国大行其道（这次的伦敦奥运会大概让人对此并不陌生），他认为做愤青比做学者更有价值。直到达米特认为自己在反种族主义事业中已经做不出什么贡献了，他才开始投身哲学。弗雷格成了他的首要研究对象。而让他万分震惊的是，弗雷格这个被认为是绝对理性的人，竟然是一个极端的种族主义者。这件事让他感到，关于人类的某些事情似乎还是不知为妙。

如果青年达米特只是个愤青，那就太对不住他牛津大学的博士头衔了。所以在愤青之余，青年达米特还干了一件事：研究怎么投票（貌似离愤青也不太远）。尽管他的第一本关于投票理论的书直到 1984 年才出版（在这本书中，达米特设计了一种全新的投票方法：比例博尔达投票法。），但早在上世纪五、六十年代，达米特就和 Robin Farquharson 一起合写过关于投票理论的重要文章。今天很少有人知道，投票理论中一个最重要的不可能性定理——Gibbard-Satterthwaite 定理，其实差一点就是达米特的囊中之物，它本该叫 Dummett-Farquharson 定理。事实上，这个定理的内容正是由他们两人一起提出的。

那么，这个和达米特相提并论的、名字听起来像国际通用骂人语的 Farquharson 又是何许人也呢？简单来说，他是一个才华横溢的、英年早逝的、几乎被后人遗忘的、遭上天嫉妒而疯掉的、命运极其悲惨的南非天才。按照 Dummett 的看法，如果不是因为遭受精神病的折磨，在社会选择领域，他原本可以成为和阿罗并驾齐驱的奠基者。

Farquharson 的求学经历和阿马蒂亚·森有点类似，他先在国内读完本科，然后又去英国牛津大学拿了一个学士学位。在牛津读本科期间，他对美国参议院的选举产生了浓厚兴趣。让他惊讶的是，选举结果通常是违背大部分人意愿的。当同一党派的参选人过多，导致选票分散到该党派不同竞选者身上时，简单的多数投票法就很容易造成这种后果。下面是众多真实案例中的一个：

1971 年，美国康乃尔大学所在地举行市长选举，共有 2 名民主党人和 3 名共和党人参选。最后获胜的是一位民主党人，但他只得了 29.1% 的选票，与之最接近的一位共和党人以 28.9% 的微弱劣势败北。最糟糕的是，3 名共和党人一共获得了 60.7% 的选票，换言之，在该市大部分人都支持共和党人的情况下，最后竟然让一个民主党人当选了。

可以预见的是，如果共和党少一个人参选，那么很可能当选的就是共和党人而不是民主党人。另一个与之等价的方法是，某些支持共和党的选民不是把票投给自己最喜欢的那个共和党人，而是投给那个人气最旺的共和党人，这样就会让某位共和党人当选。尽管这个结果不是他们最满意的，但至少要比让一个民主党人当选好得多。这种通过不诚实的投票，而获得让自己更满意的结果的行为叫做策略操纵。很显然，能够进行策略操纵的投票规则是不令人满意的，因为这会让诚实者吃亏而让欺骗者得利。同时，如果策略操纵是有利可图的，那么投票结果就很难反映人们的真实意愿。因此，如何避免策略操纵，成为投票理论中一个极为迫切的问题。

现代投票理论，以及更一般的社会选择理论虽然诞生于 1950 年代，但其真正繁荣是在 1970 年代。在此之前，除了阿罗外，Farquharson 几乎没有任何现代文献可以借鉴。而让 Farquharson 吃惊的是，阿罗竟然完全回避了投票中的策略操纵问题。在既无名师指导，也几乎没有人可以交流的情况下（当时牛津大学只有他的导师支持他研究这玩意，其他人都不感兴趣），Farquharson 只能从其他渠道获取灵感。他一方面将研究的触角伸向更久远的历史，找到了继孔多塞和博尔达之后的又一位研究过投票理论的重要人物：Charles Dodgson（因为《爱丽丝漫游奇境》这本儿童小说，他的笔名 Lewis Carrol 更为人熟知），另一方面将目光投向了刚兴起不久的、由摩根斯坦和冯·诺伊曼开创的博弈论。这两方面的探索都给了他重要启发。

1958年，Farquharson 完成了题为《投票理论》（Theory of Voting）的博士论文。这篇继阿罗之后填补空白的重要论文拖了 10 年之久都未能出版。原因颇让人纠结： Farquharson 坚持要求他的书用彩色印刷，而以当时的技术和成本，没有哪家出版社愿意这么干。最终，直到 1969年，耶鲁大学出版社以黑、白、红三色印刷出版了 Farquharson 的杰作。甫一出版，这本书就获得了美国艺术与科学院颁发的年度社会科学著作奖。

1961年，Farquharson 与达米特在经济学顶级杂志 Economitrica 共同署名发表了一篇重要文章：Stability of Voting。在这篇文章中，他们将 Ducan Black 的单峰偏好定理的条件弱化了。Ducan Black 的定理指出了：在什么样的条件下，民主投票制是没有问题的（这就是那个阿罗最初认为是自己的全新发现，后来在一本杂志中得知已被人抢先证明了的结果），而 Farquharson 与达米特的工作则相当于给民主投票制划出了更大的可以合理使用的范围。尽管达米特谦虚的表示这篇论文只有最后两三页才是他写的，但达米特的贡献却是实质性的。Farquhason 虽然猜想到了 Ducan Black 的定理条件可以弱化，但未能证明，于是求助于达米特。证明最终是由达米特完成的。同样是在这篇文章中，他们提出了防止策略操纵是不可能的这一猜想，更准确的表述是，在竞选者超过 2 个的情况下，如果投票者只对竞选者给出线性排序（不是打分），那么不存在一种投票规则可以同时满足以下 4 个条件：

1. 决断性：即投票结果只能选出一个人当选，不能同时选出多个人当选。
2. 完满性（surjective）：即每个竞选者都有当选的可能，不能出现无论选民如何投票，有人总是不能当选的情况。
3. 非独裁性：即投票结果不能由一个人说了算。
4. 防策略操纵性：即没有人可以通过改变自己的投票（在其他人保持不变的情况下）而获得更有利于自己的结果。

Farquharson 和达米特当时都没有去证明这个猜想。前者是没有条件从事学术研究了，他在 1950 年代中期就开始受狂躁抑郁症的折磨。1955 年的一个晚上，就在牛津大学的评审委员们投票决定给 Farquharson 一个职位时，Farquharson 给牛津大学打来一个电话，声称自己有一个重大发现，此发现可以解决数学、数理逻辑、经济学以及投票理论中的诸多难题，并让听电话的人找纸和笔记下来。这个电话让学校意识到 Farquharson 已经精神失常，最终没有给他这个职位。自此以后，Farquharson 再也没有获得稳定的大学职位。此后他过了一段嬉皮士的生活，期间一度沦为街头流浪汉。1973 年，年仅 43 岁的他被一起火灾责任事故殃及而烧成重伤，送至医院后抢救无效死亡，一个天才就这样悲催的离开了人世。

那么达米特又为何没有去证明自己提出的猜想呢？原因是他错误的估计了证明的难度。直到若干年后，当他准备写一本关于投票理论的书而向阿马蒂亚·森索要相关文献时，才得知这个猜想已被证明，而且被证明了两次（分别被 Allan Gibbard 和 Mark Satterthwaite 于 1973 年和 1975 年独立证明）。这让达米特大受刺激，于是决定在不看已有证明的情况下单挑，结果达米特一口气给出了 3 种不同的证明。直到晚年在一篇纪念 Farquharson 的文章中，达米特还对此耿耿于怀。是啊，早知道证明这么简单，当初动手证一下就没 Gibbard 和 Satterthwaite 两人什么事儿了。对我们这些普通人来说，如此一来至少有一个好处，那就是这个定理的名字不会那么难记了。

阿罗不可能性定理的证明

首先引入一些必要的记号和定义。令有穷集 $N=\{1,\ldots,n\}$ 为 $n$ 个投票者构成的集合，令 $X$ 为所有备选项构成的集合，每个投票者 $i$ 对 $X$ 的排序记作 $\succeq_i$，所有投票者对 $X$ 的一组排序 $(\succeq_1,\ldots,\succeq_n)$ 记作 $\vec{\succeq}$，称为一个排序组合。一个投票规则 $V$ 的作用就是，输入一个排序组合 $\vec{\succeq}$，则返回一个社会排序 $V(\vec{\succeq})$。

阿罗意义上的投票规则要求，每个投票者的排序 $\succeq_i$ 和最后得到的社会排序 $\succeq_V$ 都是弱序，即要满足下面两个性质：

1. 传递性：对任意 $x,y,z\in X$，若 $x\succeq y$ 且 $y\succeq z$，则 $x\succeq z$；
2. 完全性：对任意 $x,y\in X$，要么 $x\succeq y$，要么 $y\succeq x$（由完全性知，弱序也满足自反性，即对任意 $x\in X$，$x\succeq x$）。

我们称满足这些条件的投票规则为阿罗投票规则（阿罗称之为社会福利函数）。

任给弱序 $\succeq$，我们用 $\succ$ 表示其中的严格排序，即 $x\succ y$ 当且仅当 $x\succeq y$ 且并非 $y\succeq x$。我们用 $x\succeq_{V}y$ 表示，在社会排序 $V(\vec{\succeq})$ 中 $x$ 至少和 $y$ 一样好。类似的，$x\succ_V y$ 表示，在社会排序 $V(\vec{\succeq})$ 中 $x$ 严格好于 $y$。

一个阿罗投票规则 $V$ 是独裁的，意指存在某个独裁者 $i\in N$，使得对任意排序组合 $\vec{\succeq}$，对任意 $x,y\in X$，只要 $x\succ_i y$，则 $x\succ_V y$，即社会排序 $\succeq_V$ 中的严格排序完全等同于独裁者 $i$ 的严格排序。现在严格表述阿罗不可能性定理如下：

定理（阿罗不可能性定理）：若 $X$ 中的备选项超过两个，则不存在非独裁的阿罗投票规则 $V$ 能同时满足下面两个条件：
帕累托条件（即一致同意性）：对任意排序组合 $\vec{\succeq}$，对任意备选项 $x,y\in X$，若 $N$ 中投票者一致认为 $x$ 严格好于 $y$，则在社会排序 $\succeq_V$ 中也有 $x$ 严格好于 $y$；
独立性条件：对任意排序组合 $\vec{\succeq},\vec{\succeq'}$，对任意备选项 $x,y\in X$，若排序组合 $\vec{\succeq}$ 与 $\vec{\succeq'}$ 关于 $x,y$ 的个体排序相同，则 $\succeq_V$ 和 $\succeq'_V$ 关于 $x,y$ 的社会排序也相同。

换言之，在备选项超过两个的情况下，同时满足帕累托条件和独立性条件的阿罗投票规则一定是独裁的。为了证明这个定理，我们先引入两个重要概念。

定义 1（决定性联盟）：给定投票规则 $V$，称非空集 $G\subseteq N$ 在 $V$ 下关于 $(x,y)$ 是决定的，若对任意排序组合 $\vec{\succeq}$，只要 $G$ 中的投票者一致认为 $x$ 严格好于 $y$，则社会排序 $\vec{\succeq}$ 中也有 $x$ 严格好于 $y$；称 $G$ 是 $V$ 的决定性联盟，若 $G$ 在 $V$ 下关于所有 $(x,y)$ 都是决定的。

易见，若单点集 $\{i\}$ 是 $V$ 的决定性联盟，则 $i$ 是 $V$ 的独裁者。下面的证明本质上源自 1998 年诺贝尔经济学奖得主 Amartya Sen，他将阿罗的原始证明整理得更清晰了（阿罗的原始证明难以看出独立性条件在证明中的使用）。证明思路如下：

1. 根据定义，若 $V$ 满足帕累托条件，则 $N$ 是 $V$ 的决定性联盟。
2. 先证明关于决定性联盟的收缩引理：若非单点集 $G$ 是 $V$ 的决定性联盟，则 $G$ 的某个真子集 $G'$ 也是 $V$ 的决定性联盟。
3. 由于 $N$ 是有穷的，根据 1、2 归纳可得，存在由一个人构成的决定性联盟，即独裁者。

该证明包含了帕累托条件的明确使用，而独立性条件的使用则暗藏在收缩引理的证明中。为了证明收缩引理，需要引入另一个概念：弱决定性联盟。

定义 2（弱决定性联盟）：给定投票规则 $V$，称非空集 $G\subseteq N$ 在 $V$ 下关于 $(x,y)$ 是弱决定的，若对任意排序组合 $\vec{\succeq}$，只要 $G$ 中的成员一致认为 $x$ 严格好于 $y$，且 $G$ 外的成员（若有的话）一致认为 $y$ 严格好于 $x$，则社会排序 $\succeq_V$ 中也有 $x$ 严格好于 $y$。

显然，若 $G$ 在 $V$ 下关于 $(x,y)$ 的决定的，则 $G$ 也在 $V$ 下关于 $(x,y)$ 也是弱决定的。反之是否成立呢？如果 $V$ 满足帕累托条件和独立性条件，则反过来不仅成立，而且我们还有如下更强的结论：

引理 1（扩展引理）：设 $V$ 是满足帕累托条件和独立性条件的阿罗投票规则。若 $G$ 在 $V$ 下关于 $(a,b)$ 是弱决定的，则 $G$ 是 $V$ 的决定性联盟（即 $G$ 在 $V$ 下关于任意 $(x,y)$ 都是决定的）。

这个结论有些令人意外，其证明需要使用独立性条件。

证明：设 $V$ 是满足帕累托条件和独立性条件的阿罗投票规则。设 $G$ 在 $V$ 关于 $(a,b)$ 是弱决定的，任给 $(x,y)$，我们证明 $G$ 在 $V$ 下关于 $(x,y)$ 是决定的。不妨设 $x,y$ 与 $a,b$ 均不相同（相同的情况类似可证）。任给排序组合 $\vec{\succeq}$，使得 $G$ 中所有成员一致认为 $x$ 严格好于 $y$，只需证 $x\succ_V y$。考虑如下的排序组合 $\vec{\succeq'}$，其中

• $G$ 中的投票者认为：$x\succ' a\succ' b\succ' y$
• $G$ 之外的投票者认为：$x\succ' a$，$b\succ' y$，$b\succ' a$，且对 $x,y$ 的排序与 $\vec{\succeq}$ 保持一致

易见，$G$ 中成员一致认为 $a$ 严格好于 $b$，且 $G$ 外的成员一致认为 $b$ 严格好于 $a$，由于 $G$ 在 $V$ 下关于 $(a,b)$ 是弱决定的，故 $a\succ'_{V}b$。由于在 $\vec{\succeq'}$ 中所有人都认为 $x$ 严格好于 $a$，$b$ 严格好于 $y$，据帕累托条件有，$x\succ'_{V}a$，$b\succ'_V y$，据社会排序的传递性可得，$x\succ'_V y$。注意到 $\vec{\succeq}$ 与 $\vec{\succeq}$ 关于 $x,y$ 的个体排序是一样的，由独立性条件有，$x\succ_V y$，证毕。

有了扩展引理，现在我们可以证明下面的收缩引理了。

引理 2（收缩引理）：设 $V$ 是满足帕累托条件和独立性条件的阿罗投票规则。若非单点集 $G$ 是 $V$ 的决定性联盟，则 $G$ 的某个真子集 $G'$ 也是 $V$ 的决定性联盟。

证明：由于 $G$ 是非单点集，故可将 $G$ 划分成两个不相交的非空子集 $G_{1}$ 和 $G_{2}$。考虑满足如下条件的排序组合 $\vec{\succeq}$（由于备选项超过两个，故可以做到）：

• $G_{1}$ 中的投票者认为：$x\succ y\succ z$；
• $G_{2}$ 中的投票者认为：$y\succ z\succ x$；
• $G$ 之外的投票者（如果有的话）认为：$z\succ x\succ y$。

注意到 $G$ 中所有投票者都认为 $y$ 严格好于 $z$，由 $G$ 是 $V$ 的决定性联盟可得，$y\succ_V z$。现在分别考虑两种情况（由于 $\succeq_V$ 是完全的，故有且仅有两种情况）：

1. $x\succ_{V}z$。任给排序组合 $\vec{\succeq'}$，使得 $G_{1}$ 中的成员在 $\vec{\succeq'}$ 中一致认为 $x$ 严格好于 $z$，且 $G_1$ 外的成员一致认为 $z$ 严格好于 $x$，此时 $\vec{\succeq'}$ 和 $\vec{\succeq}$ 关于 $x,z$ 的个体排序相同，故由独立性条件可得，$x\succ'_{V}z$，这意味着 $G_{1}$ 在 $V$ 下关于 $(x,z)$ 是弱决定的，再据扩展引理有，$G_{1}$ 是 $V$ 的决定性联盟。
2. $z\succeq_{V}x$。此时，据 $\succeq_{V}$ 的传递性有 $y\succ_{V}x$。同理于情况 1 可证，$G_{2}$ 是 $V$ 的决定性联盟。

综合 1、2，故总有 $G$ 的真子集是决定性联盟，证毕！

侠之大者：阿马蒂亚·森与自由悖论

“如果你因失去太阳而流泪，那么你也将失去群星”，这句国人耳熟能详的名人名言出自印度诗人泰戈尔的《飞鸟集》。泰戈尔不仅以诗著名，他还因不满僵化的英国殖民教育，创办了自己的学校。这位第一个获得诺贝尔文学奖的亚洲人大概不会料到，他的学校会走出亚洲第一个（也是迄今唯一的）诺贝尔经济学奖得主，而这位幸运儿的大名正是泰戈尔亲自拟定的，他的名字叫阿马蒂亚·森（Amartya Sen）。

少年英雄

与作为倒闭银行家的儿子阿罗不同，森出生于书香门第，父亲和外公都是大学教授。从小混迹于茵茵校园，除了投身学术，森想不出还有第二条路可以走。他在泰戈尔创办的学校里读完小学和中学，自由驰骋于梵文、数学和物理之间。9 岁时他目睹了 1943 年的孟加拉大饥荒，三百万人丧生的惨剧给他幼小的心灵以巨大震撼，17 岁中学毕业的他就选定了经济学作为自己的主攻方向，开始严肃思考贫困、公正、社会福利等他的国家以及整个人类都面临的重大问题。20 岁时他以最优异的成绩在印度获得经济学学士学位，3 年后他又以最优异的成绩获得英国剑桥大学的学士学位，在他刚成为剑桥大学的博士生时，年仅 23 岁的他就被任命为印度 Jadavpur 大学经济学系首任系主任。

才华横溢的森获得剑桥大学的优秀奖学金，这笔钱允许他在 4 年里做任何他想做的研究。森做了一个大胆决定：研习哲学。事后证明，这是一个相当明智的决定，为他日后在经济学、政治学、伦理学等领域向人类贡献前所未有的深刻洞见奠定了坚实的基础。没有这 4 年的内力修为，森仍然会是一名出色的剑客，但决不会成为一代武林宗师。

由于剑桥大学不怎么待见社会选择理论，森直到博士毕业回到印度，才有机会开展这方面的研究。他对世界最重要的贡献之一——自由悖论（又称帕累托自由不可能性定理）是在印度本土做出的。

自由悖论

“自由，自由，多少罪名假汝名以行”，罗曼·罗兰的这句名言至今仍振聋发聩。森是如何界定自由这个一望而知又难以琢磨的概念的呢？森认为，尽管自由并不是你想干什么就能干什么，但至少在某些私人领域，这个条件是可以得到满足的。例如，相比躺着睡，我更喜欢趴着睡，我这个口味虽然重了点，但不碍别人什么事。如果有两个社会状态 x 和 y，除了在 x 中我趴着睡而在 y 中我躺着睡以外，其他都一样，那么社会应该偏好或选择 x 而不是 y。每个人都有这样一些让社会遵从自己口味的私人领域（或社会状态），这一点看上去毫无争议。

然而，森发现，这个条件与另一个毫无争议的条件——帕累托条件（即一致同意性条件）竟然不能被同时满足。帕累托条件要求，如果每个人都认为 x 比 y 好，那么社会也要认为 x 比 y 好。帕累托条件通常被认为是效率的体现，在自由主义者看来，自由是效率的保障。计划经济之所以不如市场经济在配置资源上更有效率，就是因为后者比前者拥有更多自由。然而森的定理表明，自由不但不是效率的保障，甚至会妨碍效率。这真是见了鬼了！

实际上，森证明了一个更强的结论。首先，他重新定义了社会整合机制。他没有像阿罗一样，要求社会整合机制在输入一组线序后，也返回一个线序，而是只要求返回一个非空集合。即社会整合机制根据个体偏好，选出最好的（可以是多个）备选项，森称这样的社会整合机制为“社会选择函数”。其次，在社会选择函数的框架下，森重新表述了自由性条件和帕累托条件，使得这两个条件都变得更弱了。

自由性条件：至少有两个个体是自由的。某个个体是自由的，意指对该个体而言，存在一对社会状态（或备选项）x, y，使得该个体能根据自己关于 x, y 的偏好，决定哪个备选项不能入选社会选择的结果集：若个体认为 x > y，则 y 不能入选；反之，则 x 不能入选。

帕累托条件：若每个人都认为 x > y，则 y 不能入选社会选择的结果集。

帕累托自由不可能性定理（Sen 1970）：没有社会选择函数能同时满足自由性条件和帕累托条件。

这个结果尽管看上去令人惊讶，但证明却异常简单。假设存在满足这两个条件的社会选择函数，根据自由性条件，存在个体 A 和 B，A 关于某一对备选项 a, a' 有否决权，B 关于某一对备选项 b, b' 有否决权，不妨设 b, b' 与 a, a' 均不相同（相同的情况类似可证）。考虑如下一组排序：

A：b' > a > a' > b > 其他选项
B：a' > b > b' > a > 其他选项
其他个体：与 A 排序一样（或与 B 排序一样）

根据自由性条件，对任意社会选择函数，a' 和 b' 都不能入选。另一方面，由于所有人都认为 a' > b 且 b' > a，故据帕累托条件，a 和 b 也不能入选。最后，由于每个人都认为 a > 其他选项，故据帕累托条件，所有其他选项也不能入选，这与社会选择函数必须返回非空集矛盾，证毕！

名噪江湖

凭借自由悖论一举成名的森几乎在英美所有顶尖大学都担任过教授或访问教授（其中包括哈佛大学、剑桥大学、牛津大学、斯坦福大学、伦敦经济学院、耶鲁大学、加州大学伯克利分校、麻省理工大学、康乃尔大学等），拥有超过 90 所大学的名誉学位，并曾出任英国剑桥大学三一学院院长、美国经济学会会长和国际经济学会会长（至少在经济学领域，这近似于武林盟主了）。

值得一提的是，尽管大部分时间在英美等国工作和生活，森至今仍保持印度国籍（也是其唯一国籍，即使印度承认双重国籍），而他的印度身份还曾给他带来过不少麻烦。

一次，时任剑桥大学三一学院院长的森从国外旅行回到英国，伦敦机场的官员仔细审核了森的护照，发现住址一栏写的是“剑桥三一学院院长公寓”，这位官员怎么也想不到，赫赫有名的三一学院的院长是眼前这位印度佬，于是问森是不是院长的亲密朋友（否则怎么能与院长共处一室呢），森思考了一下“自己是不是自己的朋友”这个哲学问题，踌躇片刻后给出了肯定的回答，官员见森迟疑半晌，更加怀疑森是非法移民，于是盘问起森迟疑的原因。当然，这戏剧性的一幕最终妥善收场。

森不但坚持做一名印度公民，而且每年都要回国参与印度的公共事务。由于他对贫困、饥荒、不平等、剥夺等问题的研究，他被人们尊称为“经济学的良心”，这是比诺贝尔奖得主更来之不易的称谓。正如行走江湖，见面被人称呼一声“大侠”不难，而被唤作“侠之大者”的，恐怕就没有几个了。

2006 年《时代》杂志评选他为 60 年来的亚洲英雄。
2010 年《时代》杂志评选他为世界最有影响的百人之一。
2012 年他获得美国政府颁发的国家人文科学奖章，成为获得该奖的首位非美国公民。

1970 年，森曾在哈佛大学与阿罗和罗尔斯共同开设“社会公正”课程，42 年后的今天，已年届 80 的他，仍然以每学期两门课程的工作量，奋战在哈佛大学的教学第一线。

从“哥德尔不完备性定理”到“阿罗不可能性定理”

哥尼斯堡，这个德国小镇以拥有 7 座令人晕头转向的小桥而著名（直到瑞士人欧拉发明图论治好了晕头症）。一个被当地人用来对时的超级宅男诞生于此，他的名字叫康德。若干年后，康德仙逝，康德的母校迎来了一位新同学，他的名字叫希尔伯特。勤奋好学的希尔伯特迅速成长为数学界的带头大哥。在风起云涌的 1920 年代，这位带头大哥为江湖侠士们编织了一个值得赴汤蹈火、万死不辞的伟大梦想：构造一个完美的（一致且完备的）形式证明系统，用以证明任何数学命题的真假。（这令人想起他的德国前辈莱布尼茨）。直到 1930 年退休时，希尔伯特仍然对此心怀壮志，他掷地有声的放言：我们必须知道，我们必将知道（Wir müssen wissen, wir werden wissen）。不到 1 年，横空出世的奥地利剑客哥德尔（Gödel）就无情的粉碎了希尔伯特的美梦。他以无可辩驳的数学严密性证明了，在任何一致的可以表达初等算术的形式系统中，总有一些真的数学命题是不可证明的；换言之，一致性和（足够的）完备性不可能同时达到，完美的的形式系统不存在。这就像当各路人马怀揣藏宝图四处寻找那个传闻中的巨大宝藏时，有个初涉江湖的无名少侠跳出来说，藏宝图是假的，宝藏根本不存在。

20 年后，一度为找工作发愁的美国人阿罗（Kenneth Arrow）撕碎了人们心中的另一张藏宝图。从柏拉图开始，人们就一直向往着一种理想社会，在这个理想社会中，贤人当政，好人当道。然而，好坏这样的价值判断因人而异，如果没有一种机制能调和众人的口味，将其整合成整个社会的统一价值，那么贤人政治就只能是痴人说梦。一种完美的整合个人偏好的投票制度，一直是各路人马竞相探寻的宝藏。

阿罗也是寻宝大军中的一员。在美国经济大萧条时代，阿罗的最高理想是当一名中学数学老师，这个很快破灭的理想成就了日后 6 个诺贝尔奖得主（除阿罗外，他的 5 个学生也陆续获得诺奖）。1940 年大学毕业后，走头无路的阿罗选择了读研，边读书边打零工，并曾一度想放弃学术，到保险公司谋个赚钱的精算师职位了却余生。苍天有眼，阿罗最终放弃了这个糟糕的念头。本科毕业 11 年后，阿罗终于拿到博士学位，其姗姗来迟的博士论文让整个学界为之震惊。

在写博士论文期间，阿罗重新发现了 18 世纪法国数学家、政治学家孔多塞（Marquis de Condorcet）发现的投票悖论：少数服从多数原则可能导致投票结果出现循环，而循环排序被认为是不可接受的。这个投票悖论经常以水果大战的面目出现。我更喜欢用西游记里的人物举例。假设如来、观音和唐僧对孙悟空、猪八戒、沙和尚 3 个人进行人事考核，考核意见如下：

如来：沙和尚 > 猪八戒 > 孙悟空

观音：孙悟空 > 沙和尚 > 猪八戒

唐僧：猪八戒 > 孙悟空 > 沙和尚

由于多数人（如来、唐僧）认为猪八戒比孙悟空好，故根据少数服从多数原则，最终考核结果为：猪八戒 > 孙悟空；同样的，多数人（观音、唐僧）认为孙悟空比沙和尚好，故最终考核结果为：孙悟空 > 沙和尚；另一方面，多数人（如来，观音）又认为沙和尚比猪八戒好，于是最终结果出现“猪八戒 > 孙悟空 > 沙和尚 > 猪八戒”这样的循环。

这个悖论一直困扰着阿罗，他没有将其看作发现阿罗不可能性定理的契机，而是认为它“十分讨厌”，无缘无故招来麻烦。不久，阿罗发现，如果人们的偏好能够在一条直线上分布，例如在政治立场中，每个人的偏好要么趋左，要么居中，要么偏右，一个偏右的人不会同时趋左，同样，一个居中偏左的人也不会同时偏右，在这种情况下，像“剪刀-石头-布”这样的投票循环就不可能出现。阿罗认为这是一个值得发表的全新发现。他兴致勃勃在一次午餐向客人介绍了自己的发现。之后他随手拿起一本《政治经济学杂志》，令他大失所望的是，其中一篇文章讲的正好就是自己的发现。一计不成，又生一计，1948 年秋天，阿罗终于发现了令世人震惊的“阿罗不可能性定理”。

阿罗认为，一个完美的投票制度至少要同时满足下面 3 个条件：

条件 1（一致同意性）：如果所有人一致认为貂婵比西施好看，那么投票选出的美人榜中，貂婵也要排在西施前面。

条件 2（独立无关性）：投票制度在比较貂婵和西施谁更美时，只需要知道每个人对貂婵和西施的看法（谁更美）即可，不需要知道投票者对其他无关人等（比如说杨玉环或李宇春）的看法，即使这些人也是榜单中的候选项。

条件 3（非独裁性）：投票制度选出的结果不能由一个人说了算。

这 3 个条件看起来都相当自然，尽管离完美标准似乎还有相当的距离。然而，石破天惊的是，阿罗用初中生都能看懂的证明表明，即使只满足这 3 个条件也不可能办到。与之等价的结论是：任何同时满足条件 1 和条件 2 的投票制度只能是独裁制。这个结果实在太悲观，以至于阿罗根据建议在博士论文中改用了一个不那么悲观的名字：一般可能性定理（general possibility theorem）。令阿罗哭笑不得的是，在麦卡锡主义恰好大行其道的年代，这个藏头露尾的可能性定理仍然让他背上了“共产主义分子”的恶名。

需要立刻提醒的是，就像哥德尔不完备性定理被广为误解一样，阿罗不可能性定理也有严格的应用范围，不可无限推广。首先，该定理有两个隐含的前提：1、投票人数是有穷的；2、候选项至少有 3 项，这两个前提中的任何一个不满足，阿罗不可能性定理即不再成立。例如，如果候选项只有 2 项，则少数服从多数原则就能够同时满足上述 3 个条件（这也是为什么该原则被广泛使用，为什么很多国家都是两党制而不是多党制）；其次，阿罗考虑的投票制度只限于对线性排序进行整合的制度，阿罗称之为社会福利函数（social welfare function）。该函数的输入是一组线序，输出是一个线序，因而不包括像记分制这样的投票制度。所谓完美的投票制度不可能，只是说完美的社会福利函数不可能。

阿罗并非没有考虑到记分制这样的投票制度，只是他固执的认为，个体偏好具有主观性，不可公度。记分制的前提是可以统一度量不同个体的偏好，而阿罗认为，对不同个体的偏好进行运算，就像 10 个苹果 + 20 个香蕉一样没有意义。虽然我和你都对貂婵打了满分 5 分，可是这能说明我俩喜欢貂婵的程度一样吗？很可能不一样，我可能超级粉貂婵，如果满分是 100 分的话，我可能会打 100 分，而你可能只会打 95 分。另外，每个人的区分能力不一样，对我来说，99 分和 98 分是不同的，而对你来说，98 分和 95 分没有分别。这好比我手里拿着游标卡尺，而你手里只有米尺，而最后却要统一按照其中一种尺子的精度将我俩度量的值汇总，这在一个严格的数学家看来形同儿戏（实际上，一个物理学家已经不允许这样做了）。相反，采用排序制尽管在实际上忽略了很多信息（如偏好程度），但在数学上却经得起严格推敲。这就是阿罗拒绝考虑记分制的理由。

阿罗将其不可能性定理扩展成了 100 多页的博士论文，但单就定理证明而言，一页 A4 纸的篇幅足以胜任。这个深刻定理导致了其后一系列不可能性定理的发现，从此江湖上出现了一个叫“社会选择理论”（social choice theory）的新门派。在 1972 年的诺贝尔华山论剑中，开山掌门阿罗获得了经济学武学分支的最高奖赏。