以下摘录引自：克莱因主编、齐民友等译：《现代世界中的数学》，上海教育出版社，2004。
这是一本论文集，收录了历史上著名数学和科学大家关于数学的论述。今天先摘录第一篇哈儿莫斯（Paul R. Halmos）写于1958年的一篇文章：“数学的创新”。这篇文章恰好谈到用不同方法重复解决同一问题的意义，可以佐证我之前的一篇博文。
Halmos将数学创新分为三类：“它可能是一个老事实的新证明，可能是一个新事实，也可能是同时处理一些事实的新方法”（p. 8）
“职业数学家的一大部分是寻求老事实的新证明。这样做的理由之一完全是为了一种愉快……另一个理由是，原来的创造者远未找到最快捷、最漂亮、最有效的途径，也没有完全领会到他想出来的东西与其他数学领域有什么联系。这还与第三个很实际的动机有关。在过去两千年间，数学已长得如此枝繁叶茂，必须不断修整、化简、系统化、统一以及凝缩。否则，把火炬传给新一代的问题就无法处理了。……
奇怪的是，找出比老证明更复杂的新证明有时还是有好处的。如果新证明建立了两个概念的前所未见的联系，时常会得到一种推广，使未来的学习者的工作比他们的老师轻松得多。笛卡儿的坐标几何，或称‘解析’几何是一个好例子。”（p. 8）
关于第二类创新：新事实，作者举的例子是伽罗华的方程可解性理论。关于第三类创新：新理论（统一的方法），作者仍然举了伽罗华的例子，然后是康托的集合论。
关于数学创新的源泉，作者列举了6个：实际应用、好奇心、历史（即历史上遗留下来的问题）、失败（前人失败的尝试）和错误（前人错误的解决方案），而最难的是找到问题。“创造和洞察带来的震撼集中在问题上”（p. 13）
关于对数学创新的评价：“要能够恰当的看待一项数学创新，需要十年甚至一个世纪的时间。”（p. 17）
真巧啊，我昨晚也又重新读了这本书！今天就看到w老师的博客。作为一个数学系的学生，这套书是我大学时期最爱的读物了，大概有二三十本吧基本都读过。也还盗版把这几十本书都下载到kindle里时常翻阅。数学的实在性真是一个引人入胜的话题啊！
回复删除你好厉害，看过那么多本了。我也就翻过两三本，这本也才看了两三篇。有空交流。
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