哥尼斯堡，这个德国小镇以拥有 7 座令人晕头转向的小桥而著名（直到瑞士人欧拉发明图论治好了晕头症）。一个被当地人用来对时的超级宅男诞生于此，他的名字叫康德。若干年后，康德仙逝，康德的母校迎来了一位新同学，他的名字叫希尔伯特。勤奋好学的希尔伯特迅速成长为数学界的带头大哥。在风起云涌的 1920 年代，这位带头大哥为江湖侠士们编织了一个值得赴汤蹈火、万死不辞的伟大梦想：构造一个完美的（一致且完备的）形式证明系统，用以证明任何数学命题的真假。（这令人想起他的德国前辈莱布尼茨）。直到 1930 年退休时，希尔伯特仍然对此心怀壮志，他掷地有声的放言：我们必须知道，我们必将知道（Wir müssen wissen, wir werden wissen）。不到 1 年，横空出世的奥地利剑客哥德尔（Gödel）就无情的粉碎了希尔伯特的美梦。他以无可辩驳的数学严密性证明了，在任何一致的可以表达初等算术的形式系统中，总有一些真的数学命题是不可证明的；换言之，一致性和（足够的）完备性不可能同时达到，完美的的形式系统不存在。这就像当各路人马怀揣藏宝图四处寻找那个传闻中的巨大宝藏时，有个初涉江湖的无名少侠跳出来说，藏宝图是假的，宝藏根本不存在。
20 年后，一度为找工作发愁的美国人阿罗（Kenneth Arrow）撕碎了人们心中的另一张藏宝图。从柏拉图开始，人们就一直向往着一种理想社会，在这个理想社会中，贤人当政，好人当道。然而，好坏这样的价值判断因人而异，如果没有一种机制能调和众人的口味，将其整合成整个社会的统一价值，那么贤人政治就只能是痴人说梦。一种完美的整合个人偏好的投票制度，一直是各路人马竞相探寻的宝藏。
阿罗也是寻宝大军中的一员。在美国经济大萧条时代，阿罗的最高理想是当一名中学数学老师，这个很快破灭的理想成就了日后 6 个诺贝尔奖得主（除阿罗外，他的 5 个学生也陆续获得诺奖）。1940 年大学毕业后，走头无路的阿罗选择了读研，边读书边打零工，并曾一度想放弃学术，到保险公司谋个赚钱的精算师职位了却余生。苍天有眼，阿罗最终放弃了这个糟糕的念头。本科毕业 11 年后，阿罗终于拿到博士学位，其姗姗来迟的博士论文让整个学界为之震惊。
在写博士论文期间，阿罗重新发现了 18 世纪法国数学家、政治学家孔多塞（Marquis de Condorcet）发现的投票悖论：少数服从多数原则可能导致投票结果出现循环，而循环排序被认为是不可接受的。这个投票悖论经常以水果大战的面目出现。我更喜欢用西游记里的人物举例。假设如来、观音和唐僧对孙悟空、猪八戒、沙和尚 3 个人进行人事考核，考核意见如下：
如来：沙和尚 > 猪八戒 > 孙悟空
观音：孙悟空 > 沙和尚 > 猪八戒
唐僧：猪八戒 > 孙悟空 > 沙和尚
由于多数人（如来、唐僧）认为猪八戒比孙悟空好，故根据少数服从多数原则，最终考核结果为：猪八戒 > 孙悟空；同样的，多数人（观音、唐僧）认为孙悟空比沙和尚好，故最终考核结果为：孙悟空 > 沙和尚；另一方面，多数人（如来，观音）又认为沙和尚比猪八戒好，于是最终结果出现“猪八戒 > 孙悟空 > 沙和尚 > 猪八戒”这样的循环。
这个悖论一直困扰着阿罗，他没有将其看作发现阿罗不可能性定理的契机，而是认为它“十分讨厌”，无缘无故招来麻烦。不久，阿罗发现，如果人们的偏好能够在一条直线上分布，例如在政治立场中，每个人的偏好要么趋左，要么居中，要么偏右，一个偏右的人不会同时趋左，同样，一个居中偏左的人也不会同时偏右，在这种情况下，像“剪刀-石头-布”这样的投票循环就不可能出现。阿罗认为这是一个值得发表的全新发现。他兴致勃勃在一次午餐向客人介绍了自己的发现。之后他随手拿起一本《政治经济学杂志》，令他大失所望的是，其中一篇文章讲的正好就是自己的发现。一计不成，又生一计，1948 年秋天，阿罗终于发现了令世人震惊的“阿罗不可能性定理”。
阿罗认为，一个完美的投票制度至少要同时满足下面 3 个条件：
条件 1（一致同意性）：如果所有人一致认为貂婵比西施好看，那么投票选出的美人榜中，貂婵也要排在西施前面。
条件 2（独立无关性）：投票制度在比较貂婵和西施谁更美时，只需要知道每个人对貂婵和西施的看法（谁更美）即可，不需要知道投票者对其他无关人等（比如说杨玉环或李宇春）的看法，即使这些人也是榜单中的候选项。
条件 3（非独裁性）：投票制度选出的结果不能由一个人说了算。
这 3 个条件看起来都相当自然，尽管离完美标准似乎还有相当的距离。然而，石破天惊的是，阿罗用初中生都能看懂的证明表明，即使只满足这 3 个条件也不可能办到。与之等价的结论是：任何同时满足条件 1 和条件 2 的投票制度只能是独裁制。这个结果实在太悲观，以至于阿罗根据建议在博士论文中改用了一个不那么悲观的名字：一般可能性定理（general possibility theorem）。令阿罗哭笑不得的是，在麦卡锡主义恰好大行其道的年代，这个藏头露尾的可能性定理仍然让他背上了“共产主义分子”的恶名。
需要立刻提醒的是，就像哥德尔不完备性定理被广为误解一样，阿罗不可能性定理也有严格的应用范围，不可无限推广。首先，该定理有两个隐含的前提：1、投票人数是有穷的；2、候选项至少有 3 项，这两个前提中的任何一个不满足，阿罗不可能性定理即不再成立。例如，如果候选项只有 2 项，则少数服从多数原则就能够同时满足上述 3 个条件（这也是为什么该原则被广泛使用，为什么很多国家都是两党制而不是多党制）；其次，阿罗考虑的投票制度只限于对线性排序进行整合的制度，阿罗称之为社会福利函数（social welfare function）。该函数的输入是一组线序，输出是一个线序，因而不包括像记分制这样的投票制度。所谓完美的投票制度不可能，只是说完美的社会福利函数不可能。
阿罗并非没有考虑到记分制这样的投票制度，只是他固执的认为，个体偏好具有主观性，不可公度。记分制的前提是可以统一度量不同个体的偏好，而阿罗认为，对不同个体的偏好进行运算，就像 10 个苹果 + 20 个香蕉一样没有意义。虽然我和你都对貂婵打了满分 5 分，可是这能说明我俩喜欢貂婵的程度一样吗？很可能不一样，我可能超级粉貂婵，如果满分是 100 分的话，我可能会打 100 分，而你可能只会打 95 分。另外，每个人的区分能力不一样，对我来说，99 分和 98 分是不同的，而对你来说，98 分和 95 分没有分别。这好比我手里拿着游标卡尺，而你手里只有米尺，而最后却要统一按照其中一种尺子的精度将我俩度量的值汇总，这在一个严格的数学家看来形同儿戏（实际上，一个物理学家已经不允许这样做了）。相反，采用排序制尽管在实际上忽略了很多信息（如偏好程度），但在数学上却经得起严格推敲。这就是阿罗拒绝考虑记分制的理由。
阿罗将其不可能性定理扩展成了 100 多页的博士论文，但单就定理证明而言，一页 A4 纸的篇幅足以胜任。这个深刻定理导致了其后一系列不可能性定理的发现，从此江湖上出现了一个叫“社会选择理论”（social choice theory）的新门派。在 1972 年的诺贝尔华山论剑中，开山掌门阿罗获得了经济学武学分支的最高奖赏。
